Mathématiques et Physique – MP

Concours Mathematiques et Physique
Epreuve de Mathematiques II

Heure: 8H

Durée : 3H

Nbre de pages : 4 Barème : Part.1 : 8 points , Part.II : 3 points , Part. Ill : 3 points, Part. IV : 6 points.

La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des calculatrices n’est pas autorise. Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilise par la suite, même s’il n’a pas été démontré.

Notations :
Dans tout le probleme, n designe un entier naturel non nul.
On note .Adn (R) l’espace vectoriel sur R des matrices a n lignes e t a n colonnes, a coefficients
reels et In la matrice identite de Aln (R). Le coefficient de la i–eme ligne et de la j–eme colonne
d’une matrice A est note A,j. On note A la matrice transposee de A, la matrice definie par
lAjj = Aji pour tous 1 < i, j < n.
Soit A E A‘fn (R).
• La matrice A est dite symetrique, respectivement antisymetrique, si A = A, respectivement A = — A. On designe par «S„(R) l’ensemble des matrices symetriques et .A„(R) l’ensemble des matrices antisymetriques.
• La matrice A est dite symetrique positive si A est symetrique et ses valeurs propres sont
positives ou nulles. On note <S+(R) l’ensemble des matrices symetriques positives.
• La matrice A est dite orthogonale si elle verifie AA = ln. On designe par On( R) l’ensemble
des matrices orthogonales.
n
• La trace de la matrice A est definie par Tr(A) = £ An. On admet l’egalite
i=i
Tr(AB) = Tr( B A ) pour toutes matrices A,B ,Mn (R).
U \
Un vecteur X G R” sera considere comme un vecteur colonne X = et lX designera le
V xn )
vecteur ligne obtenu par transposition. On munit R” du produit scalaire usuel defini par
/
n
(X|Y) =‘XY = Yi=^i XiVi pour tous vecteurs X =
x\
\ AA
et Y = e R n.
\ x n ) \ y* /